Développements de fonctions propres associés aux équations différentielles du second ordre - Broché

par E. C. Titchmarsh (Auteur)

L'idée de développer une fonction arbitraire en termes de solutions d'une équation différentielle du second ordre remonte à l'époque de Sturm et Liouville, il y a plus de cent ans. Les premières preuves satisfaisantes furent construites par divers auteurs au début du XXe siècle. Plus tard, une théorie générale des cas singuliers fut proposée par Weyl, qui la fonda sur la théorie des équations intégrales. Une autre méthode, passant par la théorie générale des opérateurs linéaires dans l'espace de Hilbert, se trouve dans le traité de Stone sur ce sujet. Ici, j'ai adopté une autre méthode. Les preuves de ces développements au moyen de l'intégration par contour et du calcul des résidus furent données par Cauchy, et cette méthode a été utilisée par plusieurs auteurs dans le cas ordinaire de Sturm-Liouville. Elle est appliquée ici au cas singulier général. Il est ainsi possible d'éviter à la fois la théorie des équations intégrales et la théorie générale des opérateurs linéaires, bien que, bien sûr, nous ne fassions parfois que l'adapter au cas particulier considéré. Le développement ordinaire de Sturm-Liouville est maintenant bien connu. Je le rejette donc aussi rapidement que possible et me concentre sur les cas singuliers, une classe qui semble inclure tous les exemples les plus intéressants. Afin de présenter une théorie claire dans un espace raisonnable, j'ai dû rejeter fermement toutes les généralisations. Beaucoup des arguments utilisés s'étendent assez facilement à d'autres cas, comme celui de deux équations simultanées du premier ordre. Il semble que les physiciens s'intéressent à certains aspects de ces questions. Si un physicien trouve ici quelque chose qu'il désire savoir, j'en serai enchanté, mais c'est aux mathématiciens que le livre est destiné. Je crois en l'avenir des mathématiques pour les physiciens, mais il semble souhaitable qu'un auteur sur ce sujet comprenne la physique aussi bien que les mathématiques.